LOGICA MATEMATICA
DEFINICIONES BASICAS.-
La palabra LOGICA se deriva de la palabra griega LOGOS que significa RAZONAMIENTO o DISCURSO.
“LOGICA.- es la ciencia que enseña a razonar con exactitud y que posee un lenguaje exacto y preciso, el cual para su desarrollo utiliza reglas adecuadas las cuales nos permite obtener una conclusión”.
GEORGE BOOLE(1847) inicia la llamada lógica matemática, Lógica Simbólica, Logística o Lógica Moderna se vale de diversas notaciones mediante una representación simbólica para expresar la abstracción lógica libre de todo contenido y evitar las impresiones del lenguaje común.
1.- Ejemplo: Simbólicamente:
A = Maria es una mujer responsable A y B 1
B = Ocupa un lugar importante A y - B 2
- A y B 3
- A y – B 4
PROPOSICIONES:
Son oraciones o expresiones a las que sólo pueden asignarse por su valor lógico UN VALOR DE VERDAD (Verdadero o Falso).
Valor de verdad
1 2 3 4
V (A) = V V F F
V (B) = V F V F
2.- Ejemplos:
P = El Sol siempre da calor V (P) = V
Q = Los planetas tiene luz propia V (Q) = F
R = Quito es la Capital del Ecuador V (R) = V
S = ( 8 + 4 ) = 10 V (S) = F
No son proposiciones las preguntas, las ordenes las exclamaciones.
3.-Ejemplos:
(Son Oraciones)
1.- ¿Qué hora es? 4.- x+5=20
2.- ¡Ven acá! 5.- y es alto
3.- ¡Viva el Ecuador! 6.- Carla es mamá de z
Algunos autores lo llaman proposiciones abiertas por tener una variable que al ser reemplazadas se transforman en proposiciones cerradas con un valor de verdad: Verdadero o Falso.
CLASES DE PROPOSICIONES (Cerradas)
1.- Proposiciones Simples o Atómicas
2.- Proposiciones Compuestas o Moleculares
PROPOSICIONES SIMPLES:
Son aquellas que están formadas por un Sujeto y un solo Predicado.
4 Ejemplos:
1.- Todos los hombres son mortales.
2.- París es la Capital de Francia.
3.- Loja es la Centinela de la Patria.
4.- Carlos Marx nació en Alemania.
5.- Todas las pasiones son ciegas.
6.- El ciudadano mayor a 18 años puede votar.
7.- Gabriela Mistral gano el premio Nóbel.
8.- (8 + 4) > 10
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples.
5.- Ejemplos:
1.- Los inteligentes deliberan y los necios deciden.
2.- Alicia sabía la materia o copió en el examen.
3.- Escuchamos el timbre, si entonces es hora de empezar la clase.
4.- El alumno participará en clase si o solo si está realmente motivado.
5.- Maria barre, canta y suspira.
6.- Luís estudió Inglés en un Instituto o vivió en los EE.UU.
7.- Si Juan es un buen jugador entonces participara en el campeonato.
8.- Anita dirá la verdad si y solo si lo presionan.
III. OPERACIONES DE LA LOGICA
(CONECTIVOS LÓGICOS)
OPERACIÓN, CONECTIVOS LOGICOS
FORMA SIMBOLICA
POSTULADO EXPRESION VERBAL(QUE SE LEE)
NOMBRE DE LA OPERACIÓN
JERARQUIA
-
- P
no P
Negación
<
^
P ^ Q
P y Q
Conjunción
=
v , v
P v Q
P o Q
Disyunción
=
=>
P => Q
Si P, entonces Q
Condicional
>
<=>
P <=> Q
P si y solo si Q
Bicondicional
>
IV .TABLAS DE VERDAD
SUPPES HILL (1982). Presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de árbol o en forma de tabla de verdad.
Las tablas básicas son:
1.- NEGACION 2.- CONJUNCION
P
-P
V
F
F
V
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3.- DISYUNCION 4.- CONDICIONAL
P
Q
P v Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
P
Q
P => Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5.- BICONDICIONAL
P
Q
P <=> Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
NEGACION.- (-) dada una proposición “P” llamamos negación de “P” a otra proposición que se caracteriza por ser falsa cuando “P” es verdadera y viceversa.
El valor de verdad de la negación de una proposición es siempre el opuesto del valor de verdad de la proposición.
6.- Ejemplo:
P = iré a la fiesta
- P = no iré a la fiesta.
Pero también para expresar la negación, se puede utilizar otros términos tales como “No es cierto que “, Es falso que”, “No es el caso que”.
- P = no es cierto que iré a la fiesta
- P = es falso que iré a la fiesta
- P = no es el caso que iré a la fiesta.
CONJUNCION. (P ^ Q) llamaremos conjunción de “p” y “Q” a la proposición que se obtiene de unir las dos proposiciones con el conectivo “Y”, obteniendo P Q que se lee “P y Q”.
La conjunción se caracteriza por ser verdadera únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas, en otros casos son falsas.
7.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia y Paris es Capital de Francia”.
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = el Sena es un río de Francia V (P) = V
Q = Paris es la Capital de Francia V (Q) = V.
Por lo tanto V (P ^ Q) = V
2) P = El Sena es un río de Francia V(P) = V
- Q = Paris no es la Capital de Francia V (- Q) = F
Por lo tanto V (P ^ - Q) = F
3) - P = El Sena no es un río de Francia V(- P)= F
Q = Paris es capital de Francia V( Q)= V
Por lo tanto V (- P ^ Q) = F
4) - P = El Sena no es un rió de Francia V ( - P ) = F
- Q = Paris no es Capital de Francia V (Q ) = F
Por tanto V ( - P ^- Q ) = F
La Conjunción “Y” puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “Pero”. “Además”, “Sin embargo”, “a la vez”, “Aunque”, “no obstante”, etc.
8.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia PERO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia ADEMAS Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia SIN EMBARGO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia A LA VEZ Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia AUNQUE Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia NO OBSTANTE Paris es Capital de Francia.
DISYUNCION.- ( P V Q )
INCLUSIVA
EXCLUSIVA
Llamaremos disyunción inclusiva a la proposición que se obtiene de unir dos proposiciones “P” y “Q” con el conectivo ó obteniendo “P V Q”, que se lee “P o Q”.
La disyunción en general se refiere siempre a la inclusiva, se caracteriza por ser falsa cuando las dos proposiciones son falsas; en los otros casos son verdaderos.
9.- Ejemplos:
Alex quiere caminar o Alex quiere cantar, puede ocurrir que Alex solamente quiera caminar o que solamente quiera cantar, o que quiera realizar ambas acciones al mismo tiempo, en este caso la (o) tiene significado inclusivo, que se lo simbolizara (V)
10.- Ejemplo:
Luis estudió inglés en un Instituto o vivió en EE.UU.
1) P = Luís estudio inglés en un Instituto V ( P ) = V
Q = vivió en EE.UU. V ( P v Q ) = V
Por lo tanto V ( P v Q ) = V
2) P = Luís estudió inglés en un Instituto V ( P ) = V
- Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( P v- Q ) = V
3) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
Q = vivió en EE.UU. V ( Q ) = V
Por lo tanto V ( - P v Q ) = V
4) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
-Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( - P v - Q ) = F
DISYUNCION EXCLUSIVA (P v Q )
El valor verdad de la proposición disyuntiva exclusiva es VERDAD cuando una de las proposiciones tiene que ser falso. El conectivo v (o) es excluyente o lo uno o lo otro, pero no ambos.
11.- Ejemplo:
Pepe está en Quito o Pepe esta en New York ( P v Q ) por mas que Pepe desee no puede estar al mismo tiempo en Quito o en New York.
11.1.- Ejemplo:
Patricia es hija de Pedro o de Juan
P = Patricia es hija de Pedro V (P) = V
Q = Patricia es hija de Juan V (Q) = F
V ( P v Q ) = V
P
Q
P v Q
V
F
V
F
V
V
CONDICIONAL ( P =>) Q
Reciproca
Inversa
Contra reciproca
Llamaremos condicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo => simbolizada por P => Q , y que se lee “SI P. entonces Q”.
Dadas las proposiciones “P” y “Q” también podemos decir que
P implica a Q.
La condicional o implicación se caracteriza por ser falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2da. Fila de la Tabla ), en todos los demás casos son verdaderos.
12.- Ejemplos:
Si Pablo estudia como es debido entonces aprobara el semestre
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( P => Q) = V
2) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( P => - Q) = F
3) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( - P => Q) = V
4) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( - P => - Q) = V
LA CONDICIONAL O IMPLICACION => (Si …., entonces)
Puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “SI” “CADA VEZ”, “PUESTO QUE”,etc.
13.- Ejemplo:
Si Pablo estudia como es debido Entonces aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido si aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido cada vez aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido puesto que aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido porque aprobara el semestre
CONDICIONAL RECIPROCA
Debemos resaltar la otra manera de la condicional o Implicación
Si P entonces Q
P => Q
Q es consecuencia de P
C. RECÍPROCA
Q => P
Q
P
Q
Q => P
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
La tabla de verdad de la reciproca Q =>P se bajara en la 3 ra. Fila de la condicional P => Q en donde el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en todos los demás casos son verdaderos.
14.- Ejemplo:
La proposición condicional (Implicación) P =>Q
Si “B” es perpendicular a “C” , entonces “C” es perpendicular a “B”, la proposición condicional (Implicación), Reciproca Q => P si “C” es perpendicular a “B”, entonces “B” es perpendicular a “C”
(dibujo)
CONDICIONAL INVERSA
Dada la proposición condicional P=>Q se denomina proposición inversa a la proposición que se indica
por – P => - Q
15.- Ejemplo:
P => Q
Si Pedro consigue la visa, ENTONCES viajara
a los EE.UU.
- P => - Q
Si Pedro no consigue la visa, entonces no viajara a los EE.UU.
CONDIONAL CONTRARECIPROCA
Dada la proposición condicional P => Q se denomina proposición Contra reciproca a la proposición que se indica por – Q => - P
16.- Ejemplo:
P => Q
Si una figura geométrica tiene 4 ángulos rectos entonces es un cuadrado
-Q => -P
Si no es cuadrado, entonces la figura geométrica no tiene 4 ángulos rectos.
Inversa
-P => -Q
- P
- Q
P
Q
-P => - Q
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
Contra reciproca
-Q => -P
- Q
- P
P
Q
- Q => - P
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
BICONDICIONAL (P <=> Q)
Se denomina bicondicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo <=> simbolizada por P <=>Q, y que lee “P SI Y SOLO SI Q”.
El bicondicional se caracteriza por ser verdadero cuando las componentes es decir el antecedente y el consecuente tienen el mismo valor de verdad, en los otros casos son falsos (1ra. y 4ta. Fila de la tabla son verdaderos; 2da. y 3ra. Fila de la tabla son falsos.
17.- Ejemplo:
Maria comprará una casa si si y solo si obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda.. El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = María comprará una casa
Q = Maria obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
V (P) = V
V (Q)= V
POR LO TANTO V(P < = > Q) = V
2) P = María comprará una casa
- Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V(P) = V
V ( -Q ) = F
por lo tanto V ( P < = > -Q ) = F
3) - P = María no comprará una casa
Q = María obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(Q) =V
Por lo tanto V(-P < = > Q) = F
4) -P = María no comprará una casa
-Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(- Q) =F
Por lo tanto V(-P < = > - Q) = V
Es necesario observar que si utilizamos las dos condicionales
“P =>Q”, “Q =>P” y la conjunción, ^ su valor en las tablas de verdad es exactamente igual a la proposición bicondicional
“P< = > Q”, con el Ejemplo: 17.1
Si Maria compra una casa, entonces obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda y si obtiene un préstamo del banco de la Vivienda, entonces compra una casa.
P
Q
(P => Q)
^
(Q => P)
P < = > Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
igual
TECNICAS PARA LA CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD
Para obtener el valor de verdad de un esquema molecular o proposiciones compuestas, se parte del numero de variables proposicionales, aplicando la siguiente formula (2n) en donde n es el numero de variables.
18.- Ejemplo:
“P” y “Q” 22 = 4; 4 valores de verdad (4 filas)
“A” y “B” 2 elementos
18.1.- Ejemplo:
“P”, “Q” y “R” 2 3 = 8
“A”, “B” y “C” 3 elementos
19.- Ejemplo:
“P”, “Q”,”R” y “S” 24 = 16
“A”, “B”, “C” y “D” 4 elementos
Las combinaciones verdadero (V) y falso (F) se colocan a la izquierda o derecha de las tablas para luego aplicar las respectivas reglas o leyes de cada uno de los conectivos o conectores lógicos, empezando por el de menor alcance o jerarquía.
20.- Ejemplo:
La Facultad de Ingeniería Civil necesita un Profesor con especialidad en Física y Matemáticas.
Se han presentado 4 aspirantes al cargo: A, B, C, D, con las siguientes características:
A = tiene ambas especialidades (V, V)
B = sólo tiene la especialidad de física (V, F)
C = sólo tiene la especialidad de matemáticas (F, V)
D = no tiene la especialidad de física ni la de matemáticas (F, F)
Por lo tanto, quien cumple los requisitos es el aspirante (A) ya que en la conjunción (^) para que haya un valor de verdad verdadero, tanto el antecedente como el consecuente tienen que ser verdaderas.
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
DIAGRAMAS DE VALORES DE VERDAD
SUPPES HILL.- presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de verdad o certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de diagrama de árbol o en forma de tabla.
En el diagrama de árbol se determina primero el valor de cada uno de las proposiciones atómicas o simples de acuerdo al ejemplo, luego se sigue con las proposiciones moleculares o compuestas de menor predominio o jerarquía hasta quedar con la proposición más dominante que es la que nos define el valor de verdad.
21.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad, dadas las siguientes proposiciones:
a). Por el diagrama de árbol
b) Por la tabla de verdad
P = 2 + 4 = 6 => V(P) = V
Q = + 4 = 8 => V(Q) = V
R = 5 x 4 = 20 => V ( R ) = V
S = 4 x 0 = 4 => V (S) = F
a) Diagrama de árbol
P ^ Q => S
V V
V F
F
a). PASOS:
1. Determinar el valor de verdad de las proposiciones atómicas
2. Entre las proposiciones P y Q se utilizo la tabla conjunción “^” 1ra. Fila.
3.- Entre el resultado anterior y la proposición “S”, se utilizo la tabla condicional “ => 2da.fila.
Por lo tanto se concluye que la proposición molecular o compuesta P ^ Q => S es falso.
b). Por la Tabla de Verdad o Certeza P ^Q => S
P
Q
S
(P ^ Q) => S
1
V
V
V
V
V
V
2
V
V
F
V
F
F
3
V
F
V
F
V
V
4
V
F
F
F
V
F
5
F
V
V
F
V
V
6
F
V
F
F
V
F
7
F
F
V
F
V
V
8
F
F
F
F
V
F
1
3
2
El valor del esquema molecular o proposición compuesta es falso, según columna 3. 2da. fila o 2do. Paso.
22.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición molecular o compuesta
[(A v B) ^ - A] => - ( C = > A )
a).- Por medio de el diagrama de árbol
b).- Por la tabla de verdad. Si “A” es proposición verdadera y “B” y “C” son falsas:
a).- [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
V F -V F V
V F -V
F F
V
El valor de verdad del esquema molecular o compuesta es verdadero, según el diagrama de árbol.
Por la tabla de verdad o certeza
b). [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
A
B
C
(A v B)
^
-A
=>
-
(C =>A)
V
V
V
V
F
F
V
F
V 1
V
V
F
V
F
F
V
F
V 2
V
F
V
V
F
F
V
F
V 3
V
F
F
V
F
F
V
F
V 4
F
V
V
V
V
V
V
V
F 5
F
V
F
V
V
V
F
F
V 6
F
F
V
F
F
V
V
V
F 7
F
F
F
F
F
V
V
F
V 8
1
3
2
6
5
4
El valor de verdad de las proposiciones compuestas o molecular es verdadero, según la tabla de verdad o certeza que apreciamos en la 6ta. Columna 4ta. Fila o paso.
23.- Ejercicio.
1) [(A ^ B) v - A] v – (C => A)
2) - ( P ^ – Q) => R
3) - (P => - Q ) <=> R
4) ( P ^Q ) – ( Q v P ) => R
5) P=> (P ^Q )
6) (P ^ Q) =>P
V. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES
TAUTOLOGIA.- es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos verdaderos.
24.- Ejemplo:
Demuestre mediante tablas de verdad, que el siguiente esquema proposicional es una tautología.
(P ^ Q) => ( P < = > Q)
P
Q
^
=>
< = >
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
1
(3)
2
Los valores de la columna (3) todos son verdaderos por lo tanto la proposición compuesta es una Tautología.
25.- Ejemplo:
P v- (P ^ Q)
P
Q
v
-
^
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
3
(4)
2
1
Los valores de la columna 4 son todos verdaderos,
Por lo tanto la proposición compuesta es una TAUTOLOGIA
26.- Ejemplo:
v P v – (P ^ Q ) < = > (P = >Q )
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
Con 3 proposiciones simples demostrar si es una tautología. El siguiente esquema proporcional.
(-P) v (-R) => - (P ^ Q) v –R
-P
-R
P
Q
R
v
^
=>
-
^
v
-R
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
1
6
3
2
5
4
Es una tautología demostrada en la columna (6) del esquema proporcional en donde todo es verdadero.
27.- Ejemplo: determinar si es una Tautología
(-P) ^ (-R) < => - (P v Q) v –R
CONTRADICCION
Es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos falsos.
28.- Ejemplo:
Demostrar mediante tablas de verdad o de certeza que el siguiente esquema proporcional es una contradicción.
-[Pv – (P ^Q)]
P
Q
-
v
-
^
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
3
(5)
4
2
1
Los valores de verdad de la columna (5) todos son falsos por lo tanto el esquema proporcional es una
CONTRADICCIÓN.
29.- Ejemplo: según el caso anterior
[(Pv – Q) ^ (- P )] v – (- Q => P)
-P
-Q
P
Q
v
-Q
^
-P
v
-
=>
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
2
3
1
5
4
8
7
6
La respuesta en la columna (8) todas las filas son falsas, por lo tanto la proposición compuesta o esquema proporcional es una CONTRADICCIÓN.
30.- Ejercicio
Con 3 proposiciones simples. Demostrar si es una contradicción el siguiente esquema proporcional.
[(-P^ Q) => -R] < = > [R ^ - (P v – Q)]
-R
-P
P
Q
R
-P^ Q
= >
-R
< = >
R
^
-
Pv-Q
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
1
3
2
(8)
6
7
5
4
Una contradicción demostrada en la columna (8) del esquema proporcional o proposición compuesta en donde todo es falso.
31.- Ejercicio
Determinar si es una contradicción
[(-P v – Q) => -R] = > [R ^ - (P v – Q)]
Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta o molecular.
32.- Ejercicio
[(-P ^– Q) =>( -R)] < = > (-P) v [R v (- P ^ – Q)]
-P
-Q
-R
P
Q
R
^
=>
-R
< = >
-P
v
v
^
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
1
3
2
(7)
6
5
4
La respuesta de la proposición compuesta esta en la columna (7), en donde hay 5 verdades (1ª, 3ª, 5ª, 6ª y 8ª filas ) y 3 falsedades ( 2ª,4ª y 7ª filas)
33.- Ejercicio
(P ^ Q ) => ( P v Q)
34.- Ejercicio (P v Q ) => ( P ^ Q)
RESUMEN .-A la tautológica
Se le simboliza con la letra (T), a la idea de tautología se le asocia con el conjunto universo (U); a la contradicción se le simboliza con la letra C, a la idea de contradicción se le asocia con el conjunto vacío ( ). La negación de la tautología es la contradicción (-T=C); la negación de la contradicción es la Tautología (- C = T )
SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES
Las proposiciones simples o atómicas están representadas por letras mayúsculas a las cuales se les reemplaza por una variable proposicional, utilizando signos de agrupación y conectivos lógicos, En pocas palabras diremos que la simbolización de proposiciones es la de formar el lenguaje común a un lenguaje simbólico.
35.- Ejercicio.
“Si el barco no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o esta prisionero.” representando simbólicamente
A = El barco trae piratas
B = El capitán a muerto
C = El capitán esta prisionero
A LENGUAJE SIMBOLICO LENGUAJE COMUN
a) – A => (B v C)
b) (A^ - B) => C
c) B v C => -A
d) (-C ^- B ) => A
e) C => - B => - A
f) A => (-C ^-B)
g) A < = > (-B ^-C)
36.- Ejercicio
Dado las proposiciones simples
P = Hace frió
Q = Llueve
R = Está nublado
a) (P v Q) v R
b) (R ^- P) v (-Q v R)
c) R ^ P < => Q
d) (Q ^ R) => P
e) R ^ - Q => P
f) ( Q ^ P ) => R
g) ( - P ^ - Q ) => -R
37.- Ejercicio
DADAS LAS PROPOSICIONES
A = Juan vendrá
B = Juan ha recibido la carta
C = Juan esta interesado todavía en el asunto
Lenguaje Simbólico lenguaje Común u Ordinario
a) A => B < = > C
b) (A < = > B ) v C
c) (A < = > B ) ^ - C
d) C < = > A
e) – A v –B
f) ( C => A) v (-A < = > -B)
g) (B ^C ) => A
38.- Ejercicio
Resolver, indicando en la respuesta final, cuantas verdades y falsedades existen.
(- P) v – R => - (P v Q) v – R
LEYES QUE RIGEN A LAS PROPOSICIONES
Toda ley es la que determina la norma guía, pauta y modelo que se necesita para desarrollar cualquier ejercicio posterior.
Las leyes que rigen las proposiciones tienen similitud con las leyes del algebra, de tal manera que este sistema es considerado como un sistema algebraíco conocido como ALGEBRA BOOLEANA ( en honor a su autor GEORGE BOOLE.
Para probar cualquiera de estas leyes es suficiente establecer una tabla de verdad que muestre que las equivalencias dadas son realmente verdaderas
Equivalencia (A = B) decimos que dos proposiciones son equivalentes, cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor lógico ( idénticas tablas de valores de verdad).
La equivalencia de proposiciones se asocia con el bicondicional ya que muchos autores lo simbolizan así.
A = B A < = > B que se lee
“A” es una equivalencia a “B” o “A” si y solo si “B”
”B” es equivalente a “A” “B” si y solo si “A”
la diferencia seria: El Bicondicional es una operación entre proposiciones y la equivalencia es una RELACION entre formulas proposicionales.
39.- Ejemplo:
P < = > Q = (P => Q ) ^ (Q =>P)
P
Q
< = >
=
=>
=>
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
1
2
4
3
Idénticas
Las columnas 1 y 4 son idénticas por lo tanto son equivalentes.
40.-Ejercicio.
Demostrar la equivalencia entre la Condicional y Contra recíproca, entre la Reciproca e Inversa .Una tabla de verdad.
CondicionalP=> Q
Contra Reciproca
-Q=>-P
Reciproca
Q=>P
Inversa
-P => -Q
Q
-P
-Q
P=>Q
-Q=>-P
Q =>P
- P = > -Q
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
1
4
2
3
IDENTICAS IDENTICAS
P => Q = -Q => -P , Q => P = -P => -Q
1era.- LEY DE LA NO CONTRADICCION
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez
P ^ - P
Ej: Juan esta en la UTA y Juan no esta en la UTA
2da.- LEY DEL TERCER EXCLUIDO
Una proposición O es verdadera O es falsa, no hay una tercera posibilidad
P v – P
Ej: Juan está en la Universidad O Juan no está en la Universi
3era.- LEY DE LA DOBLE NEGACION
Dos negaciones equivalen a una afirmación
- ( -P) = P
Ej: “Es falso que Descartes no sea Francés- equivale – a que Descartes es Francés”
4ta.- LEY DE CONMUTACION
Ej. Conjunción a) (P ^ Q) < = > ( Q ^ P ) 0 P ^ Q = Q ^ P
Disyunción b) (P v Q) < = > ( Q v P ) 0 P v Q = Q v P
Bicondicional c) (P< = > Q) < = > ( Q < = > P) 0 P < = > Q = Q < = > P
El orden de las proposiciones no altera el resultado
5ta.- LEY DE ASOCIACION
Las proposiciones utilizando paréntesis pueden asociarse o agruparse como crea conveniente
Ej: Conjunción a) (P ^ Q) ^ R = P ^ (Q ^ R)
Disyunción b) (P v Q) v R = P v (Q v R)
Bicondicional c) (P < = > Q) < = > R = P< = > (Q < = > R)
6ta.- LEY DE LA IMPLICACION
P =>Q = -Pv Q
-P
P
Q
P =>Q
-P v Q
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
7ma.- LEY DE LA CONTRARECIPROCA:
P => Q = - Q => -P
Ej:
P
Q
-P
-Q
P => Q
-Q => -P
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
IDENTIDAD
LEYES DE MORGAN
La Negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtiene cambiando la conjunción por la disyunción o inversa y negando cada una de las componentes.
Ej:
a) – (P ^ Q) = - P v - Q
Solución
P
Q
-P
-Q
-P v-Q
P ^ Q
- (P ^Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
1
2
3
4
5
Identidad
. Las dos proposiciones iniciales son EQUIVALENTES
De acuerdo a la 1ª. Ley de MORGAN lograr una conclusión de la siguiente proposición compuesta “El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección Sur”.
El río Missisipi corre en dirección Norte
El río Nilo corre en dirección Sur.
-(P ^ Q) = “No es verdad que el río Missisipi corra en dirección Norte y que el río Nilo no corra en dirección sur
Esto Equivale a
(-P v -Q) = El río Missisipi no corre en dirección norte O el río Nilo no corre en dirección Sur.
LEY DE MORGAN:
b) – (P v Q ) = - P ^ - Q
Ej: Solución
P
Q
-P
-Q
-P ^ -Q
P ^ Q
- (P v Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
1
2
3
4
5
IDENTIDAD
Las dos proposiciones iniciales son equivalentes
Ej:
Con el mismo ejemplo anterior aplicando
la 2ª. LEY De MORGAN
- (P v Q) = “ No es verdad que el río Missisipi corra en dirección norte O que el río Nilo corra en dirección sur. Esto Equivale (=) a
- – P ^ -Q = El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección sur.
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domingo, 13 de abril de 2008
sábado, 12 de abril de 2008
cuaderno de trabajo
LOGICA MATEMATICA
DEFINICIONES BASICAS.-
La palabra LOGICA se deriva de la palabra griega LOGOS que significa RAZONAMIENTO o DISCURSO.
“LOGICA.- es la ciencia que enseña a razonar con exactitud y que posee un lenguaje exacto y preciso, el cual para su desarrollo utiliza reglas adecuadas las cuales nos permite obtener una conclusión”.
GEORGE BOOLE(1847) inicia la llamada lógica matemática, Lógica Simbólica, Logística o Lógica Moderna se vale de diversas notaciones mediante una representación simbólica para expresar la abstracción lógica libre de todo contenido y evitar las impresiones del lenguaje común.
1.- Ejemplo: Simbólicamente:
A = Maria es una mujer responsable A y B 1
B = Ocupa un lugar importante A y - B 2
- A y B 3
- A y – B 4
PROPOSICIONES:
Son oraciones o expresiones a las que sólo pueden asignarse por su valor lógico UN VALOR DE VERDAD (Verdadero o Falso).
Valor de verdad
1 2 3 4
V (A) = V V F F
V (B) = V F V F
2.- Ejemplos:
P = El Sol siempre da calor V (P) = V
Q = Los planetas tiene luz propia V (Q) = F
R = Quito es la Capital del Ecuador V (R) = V
S = ( 8 + 4 ) = 10 V (S) = F
No son proposiciones las preguntas, las ordenes las exclamaciones.
3.-Ejemplos:
(Son Oraciones)
1.- ¿Qué hora es? 4.- x+5=20
2.- ¡Ven acá! 5.- y es alto
3.- ¡Viva el Ecuador! 6.- Carla es mamá de z
Algunos autores lo llaman proposiciones abiertas por tener una variable que al ser reemplazadas se transforman en proposiciones cerradas con un valor de verdad: Verdadero o Falso.
CLASES DE PROPOSICIONES (Cerradas)
1.- Proposiciones Simples o Atómicas
2.- Proposiciones Compuestas o Moleculares
PROPOSICIONES SIMPLES:
Son aquellas que están formadas por un Sujeto y un solo Predicado.
4 Ejemplos:
1.- Todos los hombres son mortales.
2.- París es la Capital de Francia.
3.- Loja es la Centinela de la Patria.
4.- Carlos Marx nació en Alemania.
5.- Todas las pasiones son ciegas.
6.- El ciudadano mayor a 18 años puede votar.
7.- Gabriela Mistral gano el premio Nóbel.
8.- (8 + 4) > 10
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples.
5.- Ejemplos:
1.- Los inteligentes deliberan y los necios deciden.
2.- Alicia sabía la materia o copió en el examen.
3.- Escuchamos el timbre, si entonces es hora de empezar la clase.
4.- El alumno participará en clase si o solo si está realmente motivado.
5.- Maria barre, canta y suspira.
6.- Luís estudió Inglés en un Instituto o vivió en los EE.UU.
7.- Si Juan es un buen jugador entonces participara en el campeonato.
8.- Anita dirá la verdad si y solo si lo presionan.
III. OPERACIONES DE LA LOGICA
(CONECTIVOS LÓGICOS)
OPERACIÓN, CONECTIVOS LOGICOS
FORMA SIMBOLICA
POSTULADO EXPRESION VERBAL(QUE SE LEE)
NOMBRE DE LA OPERACIÓN
JERARQUIA
-
- P
no P
Negación
<
^
P ^ Q
P y Q
Conjunción
=
v , v
P v Q
P o Q
Disyunción
=
=>
P => Q
Si P, entonces Q
Condicional
>
<=>
P <=> Q
P si y solo si Q
Bicondicional
>
IV .TABLAS DE VERDAD
SUPPES HILL (1982). Presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de árbol o en forma de tabla de verdad.
Las tablas básicas son:
1.- NEGACION 2.- CONJUNCION
P
-P
V
F
F
V
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3.- DISYUNCION 4.- CONDICIONAL
P
Q
P v Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
P
Q
P => Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5.- BICONDICIONAL
P
Q
P <=> Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
NEGACION.- (-) dada una proposición “P” llamamos negación de “P” a otra proposición que se caracteriza por ser falsa cuando “P” es verdadera y viceversa.
El valor de verdad de la negación de una proposición es siempre el opuesto del valor de verdad de la proposición.
6.- Ejemplo:
P = iré a la fiesta
- P = no iré a la fiesta.
Pero también para expresar la negación, se puede utilizar otros términos tales como “No es cierto que “, Es falso que”, “No es el caso que”.
- P = no es cierto que iré a la fiesta
- P = es falso que iré a la fiesta
- P = no es el caso que iré a la fiesta.
CONJUNCION. (P ^ Q) llamaremos conjunción de “p” y “Q” a la proposición que se obtiene de unir las dos proposiciones con el conectivo “Y”, obteniendo P Q que se lee “P y Q”.
La conjunción se caracteriza por ser verdadera únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas, en otros casos son falsas.
7.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia y Paris es Capital de Francia”.
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = el Sena es un río de Francia V (P) = V
Q = Paris es la Capital de Francia V (Q) = V.
Por lo tanto V (P ^ Q) = V
2) P = El Sena es un río de Francia V(P) = V
- Q = Paris no es la Capital de Francia V (- Q) = F
Por lo tanto V (P ^ - Q) = F
3) - P = El Sena no es un río de Francia V(- P)= F
Q = Paris es capital de Francia V( Q)= V
Por lo tanto V (- P ^ Q) = F
4) - P = El Sena no es un rió de Francia V ( - P ) = F
- Q = Paris no es Capital de Francia V (Q ) = F
Por tanto V ( - P ^- Q ) = F
La Conjunción “Y” puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “Pero”. “Además”, “Sin embargo”, “a la vez”, “Aunque”, “no obstante”, etc.
8.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia PERO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia ADEMAS Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia SIN EMBARGO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia A LA VEZ Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia AUNQUE Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia NO OBSTANTE Paris es Capital de Francia.
DISYUNCION.- ( P V Q )
INCLUSIVA
EXCLUSIVA
Llamaremos disyunción inclusiva a la proposición que se obtiene de unir dos proposiciones “P” y “Q” con el conectivo ó obteniendo “P V Q”, que se lee “P o Q”.
La disyunción en general se refiere siempre a la inclusiva, se caracteriza por ser falsa cuando las dos proposiciones son falsas; en los otros casos son verdaderos.
9.- Ejemplos:
Alex quiere caminar o Alex quiere cantar, puede ocurrir que Alex solamente quiera caminar o que solamente quiera cantar, o que quiera realizar ambas acciones al mismo tiempo, en este caso la (o) tiene significado inclusivo, que se lo simbolizara (V)
10.- Ejemplo:
Luis estudió inglés en un Instituto o vivió en EE.UU.
1) P = Luís estudio inglés en un Instituto V ( P ) = V
Q = vivió en EE.UU. V ( P v Q ) = V
Por lo tanto V ( P v Q ) = V
2) P = Luís estudió inglés en un Instituto V ( P ) = V
- Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( P v- Q ) = V
3) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
Q = vivió en EE.UU. V ( Q ) = V
Por lo tanto V ( - P v Q ) = V
4) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
-Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( - P v - Q ) = F
DISYUNCION EXCLUSIVA (P v Q )
El valor verdad de la proposición disyuntiva exclusiva es VERDAD cuando una de las proposiciones tiene que ser falso. El conectivo v (o) es excluyente o lo uno o lo otro, pero no ambos.
11.- Ejemplo:
Pepe está en Quito o Pepe esta en New York ( P v Q ) por mas que Pepe desee no puede estar al mismo tiempo en Quito o en New York.
11.1.- Ejemplo:
Patricia es hija de Pedro o de Juan
P = Patricia es hija de Pedro V (P) = V
Q = Patricia es hija de Juan V (Q) = F
V ( P v Q ) = V
P
Q
P v Q
V
F
V
F
V
V
CONDICIONAL ( P =>) Q
Reciproca
Inversa
Contra reciproca
Llamaremos condicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo => simbolizada por P => Q , y que se lee “SI P. entonces Q”.
Dadas las proposiciones “P” y “Q” también podemos decir que
P implica a Q.
La condicional o implicación se caracteriza por ser falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2da. Fila de la Tabla ), en todos los demás casos son verdaderos.
12.- Ejemplos:
Si Pablo estudia como es debido entonces aprobara el semestre
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( P => Q) = V
2) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( P => - Q) = F
3) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( - P => Q) = V
4) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( - P => - Q) = V
LA CONDICIONAL O IMPLICACION => (Si …., entonces)
Puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “SI” “CADA VEZ”, “PUESTO QUE”,etc.
13.- Ejemplo:
Si Pablo estudia como es debido Entonces aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido si aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido cada vez aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido puesto que aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido porque aprobara el semestre
CONDICIONAL RECIPROCA
Debemos resaltar la otra manera de la condicional o Implicación
Si P entonces Q
P => Q
Q es consecuencia de P
C. RECÍPROCA
Q => P
Q
P
Q
Q => P
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
La tabla de verdad de la reciproca Q =>P se bajara en la 3 ra. Fila de la condicional P => Q en donde el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en todos los demás casos son verdaderos.
14.- Ejemplo:
La proposición condicional (Implicación) P =>Q
Si “B” es perpendicular a “C” , entonces “C” es perpendicular a “B”, la proposición condicional (Implicación), Reciproca Q => P si “C” es perpendicular a “B”, entonces “B” es perpendicular a “C”
(dibujo)
CONDICIONAL INVERSA
Dada la proposición condicional P=>Q se denomina proposición inversa a la proposición que se indica
por – P => - Q
15.- Ejemplo:
P => Q
Si Pedro consigue la visa, ENTONCES viajara
a los EE.UU.
- P => - Q
Si Pedro no consigue la visa, entonces no viajara a los EE.UU.
CONDIONAL CONTRARECIPROCA
Dada la proposición condicional P => Q se denomina proposición Contra reciproca a la proposición que se indica por – Q => - P
16.- Ejemplo:
P => Q
Si una figura geométrica tiene 4 ángulos rectos entonces es un cuadrado
-Q => -P
Si no es cuadrado, entonces la figura geométrica no tiene 4 ángulos rectos.
Inversa
-P => -Q
- P
- Q
P
Q
-P => - Q
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
Contra reciproca
-Q => -P
- Q
- P
P
Q
- Q => - P
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
BICONDICIONAL (P <=> Q)
Se denomina bicondicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo <=> simbolizada por P <=>Q, y que lee “P SI Y SOLO SI Q”.
El bicondicional se caracteriza por ser verdadero cuando las componentes es decir el antecedente y el consecuente tienen el mismo valor de verdad, en los otros casos son falsos (1ra. y 4ta. Fila de la tabla son verdaderos; 2da. y 3ra. Fila de la tabla son falsos.
17.- Ejemplo:
Maria comprará una casa si si y solo si obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda.. El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = María comprará una casa
Q = Maria obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
V (P) = V
V (Q)= V
POR LO TANTO V(P < = > Q) = V
2) P = María comprará una casa
- Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V(P) = V
V ( -Q ) = F
por lo tanto V ( P < = > -Q ) = F
3) - P = María no comprará una casa
Q = María obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(Q) =V
Por lo tanto V(-P < = > Q) = F
4) -P = María no comprará una casa
-Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(- Q) =F
Por lo tanto V(-P < = > - Q) = V
Es necesario observar que si utilizamos las dos condicionales
“P =>Q”, “Q =>P” y la conjunción, ^ su valor en las tablas de verdad es exactamente igual a la proposición bicondicional
“P< = > Q”, con el Ejemplo: 17.1
Si Maria compra una casa, entonces obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda y si obtiene un préstamo del banco de la Vivienda, entonces compra una casa.
P
Q
(P => Q)
^
(Q => P)
P < = > Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
igual
TECNICAS PARA LA CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD
Para obtener el valor de verdad de un esquema molecular o proposiciones compuestas, se parte del numero de variables proposicionales, aplicando la siguiente formula (2n) en donde n es el numero de variables.
18.- Ejemplo:
“P” y “Q” 22 = 4; 4 valores de verdad (4 filas)
“A” y “B” 2 elementos
18.1.- Ejemplo:
“P”, “Q” y “R” 2 3 = 8
“A”, “B” y “C” 3 elementos
19.- Ejemplo:
“P”, “Q”,”R” y “S” 24 = 16
“A”, “B”, “C” y “D” 4 elementos
Las combinaciones verdadero (V) y falso (F) se colocan a la izquierda o derecha de las tablas para luego aplicar las respectivas reglas o leyes de cada uno de los conectivos o conectores lógicos, empezando por el de menor alcance o jerarquía.
20.- Ejemplo:
La Facultad de Ingeniería Civil necesita un Profesor con especialidad en Física y Matemáticas.
Se han presentado 4 aspirantes al cargo: A, B, C, D, con las siguientes características:
A = tiene ambas especialidades (V, V)
B = sólo tiene la especialidad de física (V, F)
C = sólo tiene la especialidad de matemáticas (F, V)
D = no tiene la especialidad de física ni la de matemáticas (F, F)
Por lo tanto, quien cumple los requisitos es el aspirante (A) ya que en la conjunción (^) para que haya un valor de verdad verdadero, tanto el antecedente como el consecuente tienen que ser verdaderas.
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
DIAGRAMAS DE VALORES DE VERDAD
SUPPES HILL.- presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de verdad o certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de diagrama de árbol o en forma de tabla.
En el diagrama de árbol se determina primero el valor de cada uno de las proposiciones atómicas o simples de acuerdo al ejemplo, luego se sigue con las proposiciones moleculares o compuestas de menor predominio o jerarquía hasta quedar con la proposición más dominante que es la que nos define el valor de verdad.
21.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad, dadas las siguientes proposiciones:
a). Por el diagrama de árbol
b) Por la tabla de verdad
P = 2 + 4 = 6 => V(P) = V
Q = + 4 = 8 => V(Q) = V
R = 5 x 4 = 20 => V ( R ) = V
S = 4 x 0 = 4 => V (S) = F
a) Diagrama de árbol
P ^ Q => S
V V
V F
F
a). PASOS:
1. Determinar el valor de verdad de las proposiciones atómicas
2. Entre las proposiciones P y Q se utilizo la tabla conjunción “^” 1ra. Fila.
3.- Entre el resultado anterior y la proposición “S”, se utilizo la tabla condicional “ => 2da.fila.
Por lo tanto se concluye que la proposición molecular o compuesta P ^ Q => S es falso.
b). Por la Tabla de Verdad o Certeza P ^Q => S
P
Q
S
(P ^ Q) => S
1
V
V
V
V
V
V
2
V
V
F
V
F
F
3
V
F
V
F
V
V
4
V
F
F
F
V
F
5
F
V
V
F
V
V
6
F
V
F
F
V
F
7
F
F
V
F
V
V
8
F
F
F
F
V
F
1
3
2
El valor del esquema molecular o proposición compuesta es falso, según columna 3. 2da. fila o 2do. Paso.
22.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición molecular o compuesta
[(A v B) ^ - A] => - ( C = > A )
a).- Por medio de el diagrama de árbol
b).- Por la tabla de verdad. Si “A” es proposición verdadera y “B” y “C” son falsas:
a).- [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
V F -V F V
V F -V
F F
V
El valor de verdad del esquema molecular o compuesta es verdadero, según el diagrama de árbol.
Por la tabla de verdad o certeza
b). [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
A
B
C
(A v B)
^
-A
=>
-
(C =>A)
V
V
V
V
F
F
V
F
V 1
V
V
F
V
F
F
V
F
V 2
V
F
V
V
F
F
V
F
V 3
V
F
F
V
F
F
V
F
V 4
F
V
V
V
V
V
V
V
F 5
F
V
F
V
V
V
F
F
V 6
F
F
V
F
F
V
V
V
F 7
F
F
F
F
F
V
V
F
V 8
1
3
2
6
5
4
El valor de verdad de las proposiciones compuestas o molecular es verdadero, según la tabla de verdad o certeza que apreciamos en la 6ta. Columna 4ta. Fila o paso.
23.- Ejercicio.
1) [(A ^ B) v - A] v – (C => A)
2) - ( P ^ – Q) => R
3) - (P => - Q ) <=> R
4) ( P ^Q ) – ( Q v P ) => R
5) P=> (P ^Q )
6) (P ^ Q) =>P
V. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES
TAUTOLOGIA.- es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos verdaderos.
24.- Ejemplo:
Demuestre mediante tablas de verdad, que el siguiente esquema proposicional es una tautología.
(P ^ Q) => ( P < = > Q)
P
Q
^
=>
< = >
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
1
(3)
2
Los valores de la columna (3) todos son verdaderos por lo tanto la proposición compuesta es una Tautología.
25.- Ejemplo:
P v- (P ^ Q)
P
Q
v
-
^
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
3
(4)
2
1
Los valores de la columna 4 son todos verdaderos,
Por lo tanto la proposición compuesta es una TAUTOLOGIA
26.- Ejemplo:
v P v – (P ^ Q ) < = > (P = >Q )
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
Con 3 proposiciones simples demostrar si es una tautología. El siguiente esquema proporcional.
(-P) v (-R) => - (P ^ Q) v –R
-P
-R
P
Q
R
v
^
=>
-
^
v
-R
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
1
6
3
2
5
4
Es una tautología demostrada en la columna (6) del esquema proporcional en donde todo es verdadero.
27.- Ejemplo: determinar si es una Tautología
(-P) ^ (-R) < => - (P v Q) v –R
CONTRADICCION
Es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos falsos.
28.- Ejemplo:
Demostrar mediante tablas de verdad o de certeza que el siguiente esquema proporcional es una contradicción.
-[Pv – (P ^Q)]
P
Q
-
v
-
^
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
3
(5)
4
2
1
Los valores de verdad de la columna (5) todos son falsos por lo tanto el esquema proporcional es una
CONTRADICCIÓN.
29.- Ejemplo: según el caso anterior
[(Pv – Q) ^ (- P )] v – (- Q => P)
-P
-Q
P
Q
v
-Q
^
-P
v
-
=>
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
2
3
1
5
4
8
7
6
La respuesta en la columna (8) todas las filas son falsas, por lo tanto la proposición compuesta o esquema proporcional es una CONTRADICCIÓN.
30.- Ejercicio
Con 3 proposiciones simples. Demostrar si es una contradicción el siguiente esquema proporcional.
[(-P^ Q) => -R] < = > [R ^ - (P v – Q)]
-R
-P
P
Q
R
-P^ Q
= >
-R
< = >
R
^
-
Pv-Q
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
1
3
2
(8)
6
7
5
4
Una contradicción demostrada en la columna (8) del esquema proporcional o proposición compuesta en donde todo es falso.
31.- Ejercicio
Determinar si es una contradicción
[(-P v – Q) => -R] = > [R ^ - (P v – Q)]
Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta o molecular.
32.- Ejercicio
[(-P ^– Q) =>( -R)] < = > (-P) v [R v (- P ^ – Q)]
-P
-Q
-R
P
Q
R
^
=>
-R
< = >
-P
v
v
^
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
1
3
2
(7)
6
5
4
La respuesta de la proposición compuesta esta en la columna (7), en donde hay 5 verdades (1ª, 3ª, 5ª, 6ª y 8ª filas ) y 3 falsedades ( 2ª,4ª y 7ª filas)
33.- Ejercicio
(P ^ Q ) => ( P v Q)
34.- Ejercicio (P v Q ) => ( P ^ Q)
RESUMEN .-A la tautológica
Se le simboliza con la letra (T), a la idea de tautología se le asocia con el conjunto universo (U); a la contradicción se le simboliza con la letra C, a la idea de contradicción se le asocia con el conjunto vacío ( ). La negación de la tautología es la contradicción (-T=C); la negación de la contradicción es la Tautología (- C = T )
SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES
Las proposiciones simples o atómicas están representadas por letras mayúsculas a las cuales se les reemplaza por una variable proposicional, utilizando signos de agrupación y conectivos lógicos, En pocas palabras diremos que la simbolización de proposiciones es la de formar el lenguaje común a un lenguaje simbólico.
35.- Ejercicio.
“Si el barco no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o esta prisionero.” representando simbólicamente
A = El barco trae piratas
B = El capitán a muerto
C = El capitán esta prisionero
A LENGUAJE SIMBOLICO LENGUAJE COMUN
a) – A => (B v C)
b) (A^ - B) => C
c) B v C => -A
d) (-C ^- B ) => A
e) C => - B => - A
f) A => (-C ^-B)
g) A < = > (-B ^-C)
36.- Ejercicio
Dado las proposiciones simples
P = Hace frió
Q = Llueve
R = Está nublado
a) (P v Q) v R
b) (R ^- P) v (-Q v R)
c) R ^ P < => Q
d) (Q ^ R) => P
e) R ^ - Q => P
f) ( Q ^ P ) => R
g) ( - P ^ - Q ) => -R
37.- Ejercicio
DADAS LAS PROPOSICIONES
A = Juan vendrá
B = Juan ha recibido la carta
C = Juan esta interesado todavía en el asunto
Lenguaje Simbólico lenguaje Común u Ordinario
a) A => B < = > C
b) (A < = > B ) v C
c) (A < = > B ) ^ - C
d) C < = > A
e) – A v –B
f) ( C => A) v (-A < = > -B)
g) (B ^C ) => A
38.- Ejercicio
Resolver, indicando en la respuesta final, cuantas verdades y falsedades existen.
(- P) v – R => - (P v Q) v – R
LEYES QUE RIGEN A LAS PROPOSICIONES
Toda ley es la que determina la norma guía, pauta y modelo que se necesita para desarrollar cualquier ejercicio posterior.
Las leyes que rigen las proposiciones tienen similitud con las leyes del algebra, de tal manera que este sistema es considerado como un sistema algebraíco conocido como ALGEBRA BOOLEANA ( en honor a su autor GEORGE BOOLE.
Para probar cualquiera de estas leyes es suficiente establecer una tabla de verdad que muestre que las equivalencias dadas son realmente verdaderas
Equivalencia (A = B) decimos que dos proposiciones son equivalentes, cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor lógico ( idénticas tablas de valores de verdad).
La equivalencia de proposiciones se asocia con el bicondicional ya que muchos autores lo simbolizan así.
A = B A < = > B que se lee
“A” es una equivalencia a “B” o “A” si y solo si “B”
”B” es equivalente a “A” “B” si y solo si “A”
la diferencia seria: El Bicondicional es una operación entre proposiciones y la equivalencia es una RELACION entre formulas proposicionales.
39.- Ejemplo:
P < = > Q = (P => Q ) ^ (Q =>P)
P
Q
< = >
=
=>
=>
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
1
2
4
3
Idénticas
Las columnas 1 y 4 son idénticas por lo tanto son equivalentes.
40.-Ejercicio.
Demostrar la equivalencia entre la Condicional y Contra recíproca, entre la Reciproca e Inversa .Una tabla de verdad.
CondicionalP=> Q
Contra Reciproca
-Q=>-P
Reciproca
Q=>P
Inversa
-P => -Q
Q
-P
-Q
P=>Q
-Q=>-P
Q =>P
- P = > -Q
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
1
4
2
3
IDENTICAS IDENTICAS
P => Q = -Q => -P , Q => P = -P => -Q
1era.- LEY DE LA NO CONTRADICCION
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez
P ^ - P
Ej: Juan esta en la UTA y Juan no esta en la UTA
2da.- LEY DEL TERCER EXCLUIDO
Una proposición O es verdadera O es falsa, no hay una tercera posibilidad
P v – P
Ej: Juan está en la Universidad O Juan no está en la Universi
3era.- LEY DE LA DOBLE NEGACION
Dos negaciones equivalen a una afirmación
- ( -P) = P
Ej: “Es falso que Descartes no sea Francés- equivale – a que Descartes es Francés”
4ta.- LEY DE CONMUTACION
Ej. Conjunción a) (P ^ Q) < = > ( Q ^ P ) 0 P ^ Q = Q ^ P
Disyunción b) (P v Q) < = > ( Q v P ) 0 P v Q = Q v P
Bicondicional c) (P< = > Q) < = > ( Q < = > P) 0 P < = > Q = Q < = > P
El orden de las proposiciones no altera el resultado
5ta.- LEY DE ASOCIACION
Las proposiciones utilizando paréntesis pueden asociarse o agruparse como crea conveniente
Ej: Conjunción a) (P ^ Q) ^ R = P ^ (Q ^ R)
Disyunción b) (P v Q) v R = P v (Q v R)
Bicondicional c) (P < = > Q) < = > R = P< = > (Q < = > R)
6ta.- LEY DE LA IMPLICACION
P =>Q = -Pv Q
-P
P
Q
P =>Q
-P v Q
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
7ma.- LEY DE LA CONTRARECIPROCA:
P => Q = - Q => -P
Ej:
P
Q
-P
-Q
P => Q
-Q => -P
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
IDENTIDAD
LEYES DE MORGAN
La Negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtiene cambiando la conjunción por la disyunción o inversa y negando cada una de las componentes.
Ej:
a) – (P ^ Q) = - P v - Q
Solución
P
Q
-P
-Q
-P v-Q
P ^ Q
- (P ^Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
1
2
3
4
5
Identidad
. Las dos proposiciones iniciales son EQUIVALENTES
De acuerdo a la 1ª. Ley de MORGAN lograr una conclusión de la siguiente proposición compuesta “El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección Sur”.
El río Missisipi corre en dirección Norte
El río Nilo corre en dirección Sur.
-(P ^ Q) = “No es verdad que el río Missisipi corra en dirección Norte y que el río Nilo no corra en dirección sur
Esto Equivale a
(-P v -Q) = El río Missisipi no corre en dirección norte O el río Nilo no corre en dirección Sur.
LEY DE MORGAN:
b) – (P v Q ) = - P ^ - Q
Ej: Solución
P
Q
-P
-Q
-P ^ -Q
P ^ Q
- (P v Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
1
2
3
4
5
IDENTIDAD
Las dos proposiciones iniciales son equivalentes
Ej:
Con el mismo ejemplo anterior aplicando
la 2ª. LEY De MORGAN
- (P v Q) = “ No es verdad que el río Missisipi corra en dirección norte O que el río Nilo corra en dirección sur. Esto Equivale (=) a
- – P ^ -Q = El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección sur.
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DEFINICIONES BASICAS.-
La palabra LOGICA se deriva de la palabra griega LOGOS que significa RAZONAMIENTO o DISCURSO.
“LOGICA.- es la ciencia que enseña a razonar con exactitud y que posee un lenguaje exacto y preciso, el cual para su desarrollo utiliza reglas adecuadas las cuales nos permite obtener una conclusión”.
GEORGE BOOLE(1847) inicia la llamada lógica matemática, Lógica Simbólica, Logística o Lógica Moderna se vale de diversas notaciones mediante una representación simbólica para expresar la abstracción lógica libre de todo contenido y evitar las impresiones del lenguaje común.
1.- Ejemplo: Simbólicamente:
A = Maria es una mujer responsable A y B 1
B = Ocupa un lugar importante A y - B 2
- A y B 3
- A y – B 4
PROPOSICIONES:
Son oraciones o expresiones a las que sólo pueden asignarse por su valor lógico UN VALOR DE VERDAD (Verdadero o Falso).
Valor de verdad
1 2 3 4
V (A) = V V F F
V (B) = V F V F
2.- Ejemplos:
P = El Sol siempre da calor V (P) = V
Q = Los planetas tiene luz propia V (Q) = F
R = Quito es la Capital del Ecuador V (R) = V
S = ( 8 + 4 ) = 10 V (S) = F
No son proposiciones las preguntas, las ordenes las exclamaciones.
3.-Ejemplos:
(Son Oraciones)
1.- ¿Qué hora es? 4.- x+5=20
2.- ¡Ven acá! 5.- y es alto
3.- ¡Viva el Ecuador! 6.- Carla es mamá de z
Algunos autores lo llaman proposiciones abiertas por tener una variable que al ser reemplazadas se transforman en proposiciones cerradas con un valor de verdad: Verdadero o Falso.
CLASES DE PROPOSICIONES (Cerradas)
1.- Proposiciones Simples o Atómicas
2.- Proposiciones Compuestas o Moleculares
PROPOSICIONES SIMPLES:
Son aquellas que están formadas por un Sujeto y un solo Predicado.
4 Ejemplos:
1.- Todos los hombres son mortales.
2.- París es la Capital de Francia.
3.- Loja es la Centinela de la Patria.
4.- Carlos Marx nació en Alemania.
5.- Todas las pasiones son ciegas.
6.- El ciudadano mayor a 18 años puede votar.
7.- Gabriela Mistral gano el premio Nóbel.
8.- (8 + 4) > 10
PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples.
5.- Ejemplos:
1.- Los inteligentes deliberan y los necios deciden.
2.- Alicia sabía la materia o copió en el examen.
3.- Escuchamos el timbre, si entonces es hora de empezar la clase.
4.- El alumno participará en clase si o solo si está realmente motivado.
5.- Maria barre, canta y suspira.
6.- Luís estudió Inglés en un Instituto o vivió en los EE.UU.
7.- Si Juan es un buen jugador entonces participara en el campeonato.
8.- Anita dirá la verdad si y solo si lo presionan.
III. OPERACIONES DE LA LOGICA
(CONECTIVOS LÓGICOS)
OPERACIÓN, CONECTIVOS LOGICOS
FORMA SIMBOLICA
POSTULADO EXPRESION VERBAL(QUE SE LEE)
NOMBRE DE LA OPERACIÓN
JERARQUIA
-
- P
no P
Negación
<
^
P ^ Q
P y Q
Conjunción
=
v , v
P v Q
P o Q
Disyunción
=
=>
P => Q
Si P, entonces Q
Condicional
>
<=>
P <=> Q
P si y solo si Q
Bicondicional
>
IV .TABLAS DE VERDAD
SUPPES HILL (1982). Presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de árbol o en forma de tabla de verdad.
Las tablas básicas son:
1.- NEGACION 2.- CONJUNCION
P
-P
V
F
F
V
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3.- DISYUNCION 4.- CONDICIONAL
P
Q
P v Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
P
Q
P => Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
5.- BICONDICIONAL
P
Q
P <=> Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
NEGACION.- (-) dada una proposición “P” llamamos negación de “P” a otra proposición que se caracteriza por ser falsa cuando “P” es verdadera y viceversa.
El valor de verdad de la negación de una proposición es siempre el opuesto del valor de verdad de la proposición.
6.- Ejemplo:
P = iré a la fiesta
- P = no iré a la fiesta.
Pero también para expresar la negación, se puede utilizar otros términos tales como “No es cierto que “, Es falso que”, “No es el caso que”.
- P = no es cierto que iré a la fiesta
- P = es falso que iré a la fiesta
- P = no es el caso que iré a la fiesta.
CONJUNCION. (P ^ Q) llamaremos conjunción de “p” y “Q” a la proposición que se obtiene de unir las dos proposiciones con el conectivo “Y”, obteniendo P Q que se lee “P y Q”.
La conjunción se caracteriza por ser verdadera únicamente cuando las dos proposiciones son verdaderas, en otros casos son falsas.
7.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia y Paris es Capital de Francia”.
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = el Sena es un río de Francia V (P) = V
Q = Paris es la Capital de Francia V (Q) = V.
Por lo tanto V (P ^ Q) = V
2) P = El Sena es un río de Francia V(P) = V
- Q = Paris no es la Capital de Francia V (- Q) = F
Por lo tanto V (P ^ - Q) = F
3) - P = El Sena no es un río de Francia V(- P)= F
Q = Paris es capital de Francia V( Q)= V
Por lo tanto V (- P ^ Q) = F
4) - P = El Sena no es un rió de Francia V ( - P ) = F
- Q = Paris no es Capital de Francia V (Q ) = F
Por tanto V ( - P ^- Q ) = F
La Conjunción “Y” puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “Pero”. “Además”, “Sin embargo”, “a la vez”, “Aunque”, “no obstante”, etc.
8.- Ejemplos:
El Sena es un río de Francia PERO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia ADEMAS Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia SIN EMBARGO Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia A LA VEZ Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia AUNQUE Paris es Capital de Francia
El Sena es un río de Francia NO OBSTANTE Paris es Capital de Francia.
DISYUNCION.- ( P V Q )
INCLUSIVA
EXCLUSIVA
Llamaremos disyunción inclusiva a la proposición que se obtiene de unir dos proposiciones “P” y “Q” con el conectivo ó obteniendo “P V Q”, que se lee “P o Q”.
La disyunción en general se refiere siempre a la inclusiva, se caracteriza por ser falsa cuando las dos proposiciones son falsas; en los otros casos son verdaderos.
9.- Ejemplos:
Alex quiere caminar o Alex quiere cantar, puede ocurrir que Alex solamente quiera caminar o que solamente quiera cantar, o que quiera realizar ambas acciones al mismo tiempo, en este caso la (o) tiene significado inclusivo, que se lo simbolizara (V)
10.- Ejemplo:
Luis estudió inglés en un Instituto o vivió en EE.UU.
1) P = Luís estudio inglés en un Instituto V ( P ) = V
Q = vivió en EE.UU. V ( P v Q ) = V
Por lo tanto V ( P v Q ) = V
2) P = Luís estudió inglés en un Instituto V ( P ) = V
- Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( P v- Q ) = V
3) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
Q = vivió en EE.UU. V ( Q ) = V
Por lo tanto V ( - P v Q ) = V
4) -P = Luís no estudió inglés en un Instituto V ( - P ) = F
-Q = No vivió en EE.UU. V ( - Q ) = F
Por lo tanto V ( - P v - Q ) = F
DISYUNCION EXCLUSIVA (P v Q )
El valor verdad de la proposición disyuntiva exclusiva es VERDAD cuando una de las proposiciones tiene que ser falso. El conectivo v (o) es excluyente o lo uno o lo otro, pero no ambos.
11.- Ejemplo:
Pepe está en Quito o Pepe esta en New York ( P v Q ) por mas que Pepe desee no puede estar al mismo tiempo en Quito o en New York.
11.1.- Ejemplo:
Patricia es hija de Pedro o de Juan
P = Patricia es hija de Pedro V (P) = V
Q = Patricia es hija de Juan V (Q) = F
V ( P v Q ) = V
P
Q
P v Q
V
F
V
F
V
V
CONDICIONAL ( P =>) Q
Reciproca
Inversa
Contra reciproca
Llamaremos condicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo => simbolizada por P => Q , y que se lee “SI P. entonces Q”.
Dadas las proposiciones “P” y “Q” también podemos decir que
P implica a Q.
La condicional o implicación se caracteriza por ser falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2da. Fila de la Tabla ), en todos los demás casos son verdaderos.
12.- Ejemplos:
Si Pablo estudia como es debido entonces aprobara el semestre
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( P => Q) = V
2) P = Pablo estudia como es debido V ( P ) = V
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( P => - Q) = F
3) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
Q = Pablo aprobará el semestre V ( Q ) = V
Por tanto V ( - P => Q) = V
4) - P = Pablo no estudia como es debido V ( - P ) = F
- Q = Pablo no aprobará el semestre V ( - Q ) = F
Por tanto V ( - P => - Q) = V
LA CONDICIONAL O IMPLICACION => (Si …., entonces)
Puede ser reemplazada por otras palabras tales como: “SI” “CADA VEZ”, “PUESTO QUE”,etc.
13.- Ejemplo:
Si Pablo estudia como es debido Entonces aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido si aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido cada vez aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido puesto que aprobara el semestre
Si Pablo estudia como es debido porque aprobara el semestre
CONDICIONAL RECIPROCA
Debemos resaltar la otra manera de la condicional o Implicación
Si P entonces Q
P => Q
Q es consecuencia de P
C. RECÍPROCA
Q => P
Q
P
Q
Q => P
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
La tabla de verdad de la reciproca Q =>P se bajara en la 3 ra. Fila de la condicional P => Q en donde el antecedente es verdadero y el consecuente falso, en todos los demás casos son verdaderos.
14.- Ejemplo:
La proposición condicional (Implicación) P =>Q
Si “B” es perpendicular a “C” , entonces “C” es perpendicular a “B”, la proposición condicional (Implicación), Reciproca Q => P si “C” es perpendicular a “B”, entonces “B” es perpendicular a “C”
(dibujo)
CONDICIONAL INVERSA
Dada la proposición condicional P=>Q se denomina proposición inversa a la proposición que se indica
por – P => - Q
15.- Ejemplo:
P => Q
Si Pedro consigue la visa, ENTONCES viajara
a los EE.UU.
- P => - Q
Si Pedro no consigue la visa, entonces no viajara a los EE.UU.
CONDIONAL CONTRARECIPROCA
Dada la proposición condicional P => Q se denomina proposición Contra reciproca a la proposición que se indica por – Q => - P
16.- Ejemplo:
P => Q
Si una figura geométrica tiene 4 ángulos rectos entonces es un cuadrado
-Q => -P
Si no es cuadrado, entonces la figura geométrica no tiene 4 ángulos rectos.
Inversa
-P => -Q
- P
- Q
P
Q
-P => - Q
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
Contra reciproca
-Q => -P
- Q
- P
P
Q
- Q => - P
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
BICONDICIONAL (P <=> Q)
Se denomina bicondicional de “P” y “Q” a la proposición que resulta con el conectivo <=> simbolizada por P <=>Q, y que lee “P SI Y SOLO SI Q”.
El bicondicional se caracteriza por ser verdadero cuando las componentes es decir el antecedente y el consecuente tienen el mismo valor de verdad, en los otros casos son falsos (1ra. y 4ta. Fila de la tabla son verdaderos; 2da. y 3ra. Fila de la tabla son falsos.
17.- Ejemplo:
Maria comprará una casa si si y solo si obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda.. El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
1) P = María comprará una casa
Q = Maria obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
El valor de verdad del ejercicio propuesto es:
V (P) = V
V (Q)= V
POR LO TANTO V(P < = > Q) = V
2) P = María comprará una casa
- Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V(P) = V
V ( -Q ) = F
por lo tanto V ( P < = > -Q ) = F
3) - P = María no comprará una casa
Q = María obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(Q) =V
Por lo tanto V(-P < = > Q) = F
4) -P = María no comprará una casa
-Q = María no obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda
V (- P) = F
V(- Q) =F
Por lo tanto V(-P < = > - Q) = V
Es necesario observar que si utilizamos las dos condicionales
“P =>Q”, “Q =>P” y la conjunción, ^ su valor en las tablas de verdad es exactamente igual a la proposición bicondicional
“P< = > Q”, con el Ejemplo: 17.1
Si Maria compra una casa, entonces obtiene un préstamo del Banco de la Vivienda y si obtiene un préstamo del banco de la Vivienda, entonces compra una casa.
P
Q
(P => Q)
^
(Q => P)
P < = > Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
igual
TECNICAS PARA LA CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD
Para obtener el valor de verdad de un esquema molecular o proposiciones compuestas, se parte del numero de variables proposicionales, aplicando la siguiente formula (2n) en donde n es el numero de variables.
18.- Ejemplo:
“P” y “Q” 22 = 4; 4 valores de verdad (4 filas)
“A” y “B” 2 elementos
18.1.- Ejemplo:
“P”, “Q” y “R” 2 3 = 8
“A”, “B” y “C” 3 elementos
19.- Ejemplo:
“P”, “Q”,”R” y “S” 24 = 16
“A”, “B”, “C” y “D” 4 elementos
Las combinaciones verdadero (V) y falso (F) se colocan a la izquierda o derecha de las tablas para luego aplicar las respectivas reglas o leyes de cada uno de los conectivos o conectores lógicos, empezando por el de menor alcance o jerarquía.
20.- Ejemplo:
La Facultad de Ingeniería Civil necesita un Profesor con especialidad en Física y Matemáticas.
Se han presentado 4 aspirantes al cargo: A, B, C, D, con las siguientes características:
A = tiene ambas especialidades (V, V)
B = sólo tiene la especialidad de física (V, F)
C = sólo tiene la especialidad de matemáticas (F, V)
D = no tiene la especialidad de física ni la de matemáticas (F, F)
Por lo tanto, quien cumple los requisitos es el aspirante (A) ya que en la conjunción (^) para que haya un valor de verdad verdadero, tanto el antecedente como el consecuente tienen que ser verdaderas.
P
Q
P ^ Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
DIAGRAMAS DE VALORES DE VERDAD
SUPPES HILL.- presenta los diagramas para analizar los valores de verdad de las proposiciones en base de las tablas de verdad o certeza, las cuales se pueden desarrollar ya sea en forma de diagrama de árbol o en forma de tabla.
En el diagrama de árbol se determina primero el valor de cada uno de las proposiciones atómicas o simples de acuerdo al ejemplo, luego se sigue con las proposiciones moleculares o compuestas de menor predominio o jerarquía hasta quedar con la proposición más dominante que es la que nos define el valor de verdad.
21.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad, dadas las siguientes proposiciones:
a). Por el diagrama de árbol
b) Por la tabla de verdad
P = 2 + 4 = 6 => V(P) = V
Q = + 4 = 8 => V(Q) = V
R = 5 x 4 = 20 => V ( R ) = V
S = 4 x 0 = 4 => V (S) = F
a) Diagrama de árbol
P ^ Q => S
V V
V F
F
a). PASOS:
1. Determinar el valor de verdad de las proposiciones atómicas
2. Entre las proposiciones P y Q se utilizo la tabla conjunción “^” 1ra. Fila.
3.- Entre el resultado anterior y la proposición “S”, se utilizo la tabla condicional “ => 2da.fila.
Por lo tanto se concluye que la proposición molecular o compuesta P ^ Q => S es falso.
b). Por la Tabla de Verdad o Certeza P ^Q => S
P
Q
S
(P ^ Q) => S
1
V
V
V
V
V
V
2
V
V
F
V
F
F
3
V
F
V
F
V
V
4
V
F
F
F
V
F
5
F
V
V
F
V
V
6
F
V
F
F
V
F
7
F
F
V
F
V
V
8
F
F
F
F
V
F
1
3
2
El valor del esquema molecular o proposición compuesta es falso, según columna 3. 2da. fila o 2do. Paso.
22.- Ejemplo:
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición molecular o compuesta
[(A v B) ^ - A] => - ( C = > A )
a).- Por medio de el diagrama de árbol
b).- Por la tabla de verdad. Si “A” es proposición verdadera y “B” y “C” son falsas:
a).- [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
V F -V F V
V F -V
F F
V
El valor de verdad del esquema molecular o compuesta es verdadero, según el diagrama de árbol.
Por la tabla de verdad o certeza
b). [(A v B) ^- A] => - (C =>A)
A
B
C
(A v B)
^
-A
=>
-
(C =>A)
V
V
V
V
F
F
V
F
V 1
V
V
F
V
F
F
V
F
V 2
V
F
V
V
F
F
V
F
V 3
V
F
F
V
F
F
V
F
V 4
F
V
V
V
V
V
V
V
F 5
F
V
F
V
V
V
F
F
V 6
F
F
V
F
F
V
V
V
F 7
F
F
F
F
F
V
V
F
V 8
1
3
2
6
5
4
El valor de verdad de las proposiciones compuestas o molecular es verdadero, según la tabla de verdad o certeza que apreciamos en la 6ta. Columna 4ta. Fila o paso.
23.- Ejercicio.
1) [(A ^ B) v - A] v – (C => A)
2) - ( P ^ – Q) => R
3) - (P => - Q ) <=> R
4) ( P ^Q ) – ( Q v P ) => R
5) P=> (P ^Q )
6) (P ^ Q) =>P
V. TAUTOLOGIAS Y CONTRADICCIONES
TAUTOLOGIA.- es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos verdaderos.
24.- Ejemplo:
Demuestre mediante tablas de verdad, que el siguiente esquema proposicional es una tautología.
(P ^ Q) => ( P < = > Q)
P
Q
^
=>
< = >
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
1
(3)
2
Los valores de la columna (3) todos son verdaderos por lo tanto la proposición compuesta es una Tautología.
25.- Ejemplo:
P v- (P ^ Q)
P
Q
v
-
^
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
3
(4)
2
1
Los valores de la columna 4 son todos verdaderos,
Por lo tanto la proposición compuesta es una TAUTOLOGIA
26.- Ejemplo:
v P v – (P ^ Q ) < = > (P = >Q )
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
Con 3 proposiciones simples demostrar si es una tautología. El siguiente esquema proporcional.
(-P) v (-R) => - (P ^ Q) v –R
-P
-R
P
Q
R
v
^
=>
-
^
v
-R
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
V
1
6
3
2
5
4
Es una tautología demostrada en la columna (6) del esquema proporcional en donde todo es verdadero.
27.- Ejemplo: determinar si es una Tautología
(-P) ^ (-R) < => - (P v Q) v –R
CONTRADICCION
Es una proposición compuesta o un esquema molecular, en donde los valores de verdad del operador principal o el de mayor jerarquía son todos falsos.
28.- Ejemplo:
Demostrar mediante tablas de verdad o de certeza que el siguiente esquema proporcional es una contradicción.
-[Pv – (P ^Q)]
P
Q
-
v
-
^
V
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
3
(5)
4
2
1
Los valores de verdad de la columna (5) todos son falsos por lo tanto el esquema proporcional es una
CONTRADICCIÓN.
29.- Ejemplo: según el caso anterior
[(Pv – Q) ^ (- P )] v – (- Q => P)
-P
-Q
P
Q
v
-Q
^
-P
v
-
=>
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
V
F
2
3
1
5
4
8
7
6
La respuesta en la columna (8) todas las filas son falsas, por lo tanto la proposición compuesta o esquema proporcional es una CONTRADICCIÓN.
30.- Ejercicio
Con 3 proposiciones simples. Demostrar si es una contradicción el siguiente esquema proporcional.
[(-P^ Q) => -R] < = > [R ^ - (P v – Q)]
-R
-P
P
Q
R
-P^ Q
= >
-R
< = >
R
^
-
Pv-Q
F
F
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
1
3
2
(8)
6
7
5
4
Una contradicción demostrada en la columna (8) del esquema proporcional o proposición compuesta en donde todo es falso.
31.- Ejercicio
Determinar si es una contradicción
[(-P v – Q) => -R] = > [R ^ - (P v – Q)]
Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta o molecular.
32.- Ejercicio
[(-P ^– Q) =>( -R)] < = > (-P) v [R v (- P ^ – Q)]
-P
-Q
-R
P
Q
R
^
=>
-R
< = >
-P
v
v
^
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
V
1
3
2
(7)
6
5
4
La respuesta de la proposición compuesta esta en la columna (7), en donde hay 5 verdades (1ª, 3ª, 5ª, 6ª y 8ª filas ) y 3 falsedades ( 2ª,4ª y 7ª filas)
33.- Ejercicio
(P ^ Q ) => ( P v Q)
34.- Ejercicio (P v Q ) => ( P ^ Q)
RESUMEN .-A la tautológica
Se le simboliza con la letra (T), a la idea de tautología se le asocia con el conjunto universo (U); a la contradicción se le simboliza con la letra C, a la idea de contradicción se le asocia con el conjunto vacío ( ). La negación de la tautología es la contradicción (-T=C); la negación de la contradicción es la Tautología (- C = T )
SIMBOLIZACION DE PROPOSICIONES
Las proposiciones simples o atómicas están representadas por letras mayúsculas a las cuales se les reemplaza por una variable proposicional, utilizando signos de agrupación y conectivos lógicos, En pocas palabras diremos que la simbolización de proposiciones es la de formar el lenguaje común a un lenguaje simbólico.
35.- Ejercicio.
“Si el barco no trae piratas, entonces el capitán ha muerto o esta prisionero.” representando simbólicamente
A = El barco trae piratas
B = El capitán a muerto
C = El capitán esta prisionero
A LENGUAJE SIMBOLICO LENGUAJE COMUN
a) – A => (B v C)
b) (A^ - B) => C
c) B v C => -A
d) (-C ^- B ) => A
e) C => - B => - A
f) A => (-C ^-B)
g) A < = > (-B ^-C)
36.- Ejercicio
Dado las proposiciones simples
P = Hace frió
Q = Llueve
R = Está nublado
a) (P v Q) v R
b) (R ^- P) v (-Q v R)
c) R ^ P < => Q
d) (Q ^ R) => P
e) R ^ - Q => P
f) ( Q ^ P ) => R
g) ( - P ^ - Q ) => -R
37.- Ejercicio
DADAS LAS PROPOSICIONES
A = Juan vendrá
B = Juan ha recibido la carta
C = Juan esta interesado todavía en el asunto
Lenguaje Simbólico lenguaje Común u Ordinario
a) A => B < = > C
b) (A < = > B ) v C
c) (A < = > B ) ^ - C
d) C < = > A
e) – A v –B
f) ( C => A) v (-A < = > -B)
g) (B ^C ) => A
38.- Ejercicio
Resolver, indicando en la respuesta final, cuantas verdades y falsedades existen.
(- P) v – R => - (P v Q) v – R
LEYES QUE RIGEN A LAS PROPOSICIONES
Toda ley es la que determina la norma guía, pauta y modelo que se necesita para desarrollar cualquier ejercicio posterior.
Las leyes que rigen las proposiciones tienen similitud con las leyes del algebra, de tal manera que este sistema es considerado como un sistema algebraíco conocido como ALGEBRA BOOLEANA ( en honor a su autor GEORGE BOOLE.
Para probar cualquiera de estas leyes es suficiente establecer una tabla de verdad que muestre que las equivalencias dadas son realmente verdaderas
Equivalencia (A = B) decimos que dos proposiciones son equivalentes, cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor lógico ( idénticas tablas de valores de verdad).
La equivalencia de proposiciones se asocia con el bicondicional ya que muchos autores lo simbolizan así.
A = B A < = > B que se lee
“A” es una equivalencia a “B” o “A” si y solo si “B”
”B” es equivalente a “A” “B” si y solo si “A”
la diferencia seria: El Bicondicional es una operación entre proposiciones y la equivalencia es una RELACION entre formulas proposicionales.
39.- Ejemplo:
P < = > Q = (P => Q ) ^ (Q =>P)
P
Q
< = >
=
=>
=>
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
V
1
2
4
3
Idénticas
Las columnas 1 y 4 son idénticas por lo tanto son equivalentes.
40.-Ejercicio.
Demostrar la equivalencia entre la Condicional y Contra recíproca, entre la Reciproca e Inversa .Una tabla de verdad.
CondicionalP=> Q
Contra Reciproca
-Q=>-P
Reciproca
Q=>P
Inversa
-P => -Q
Q
-P
-Q
P=>Q
-Q=>-P
Q =>P
- P = > -Q
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
V
1
4
2
3
IDENTICAS IDENTICAS
P => Q = -Q => -P , Q => P = -P => -Q
1era.- LEY DE LA NO CONTRADICCION
Una proposición no puede ser verdadera y falsa a la vez
P ^ - P
Ej: Juan esta en la UTA y Juan no esta en la UTA
2da.- LEY DEL TERCER EXCLUIDO
Una proposición O es verdadera O es falsa, no hay una tercera posibilidad
P v – P
Ej: Juan está en la Universidad O Juan no está en la Universi
3era.- LEY DE LA DOBLE NEGACION
Dos negaciones equivalen a una afirmación
- ( -P) = P
Ej: “Es falso que Descartes no sea Francés- equivale – a que Descartes es Francés”
4ta.- LEY DE CONMUTACION
Ej. Conjunción a) (P ^ Q) < = > ( Q ^ P ) 0 P ^ Q = Q ^ P
Disyunción b) (P v Q) < = > ( Q v P ) 0 P v Q = Q v P
Bicondicional c) (P< = > Q) < = > ( Q < = > P) 0 P < = > Q = Q < = > P
El orden de las proposiciones no altera el resultado
5ta.- LEY DE ASOCIACION
Las proposiciones utilizando paréntesis pueden asociarse o agruparse como crea conveniente
Ej: Conjunción a) (P ^ Q) ^ R = P ^ (Q ^ R)
Disyunción b) (P v Q) v R = P v (Q v R)
Bicondicional c) (P < = > Q) < = > R = P< = > (Q < = > R)
6ta.- LEY DE LA IMPLICACION
P =>Q = -Pv Q
-P
P
Q
P =>Q
-P v Q
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
7ma.- LEY DE LA CONTRARECIPROCA:
P => Q = - Q => -P
Ej:
P
Q
-P
-Q
P => Q
-Q => -P
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
IDENTIDAD
LEYES DE MORGAN
La Negación de las proposiciones conjuntivas o disyuntivas se obtiene cambiando la conjunción por la disyunción o inversa y negando cada una de las componentes.
Ej:
a) – (P ^ Q) = - P v - Q
Solución
P
Q
-P
-Q
-P v-Q
P ^ Q
- (P ^Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
1
2
3
4
5
Identidad
. Las dos proposiciones iniciales son EQUIVALENTES
De acuerdo a la 1ª. Ley de MORGAN lograr una conclusión de la siguiente proposición compuesta “El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección Sur”.
El río Missisipi corre en dirección Norte
El río Nilo corre en dirección Sur.
-(P ^ Q) = “No es verdad que el río Missisipi corra en dirección Norte y que el río Nilo no corra en dirección sur
Esto Equivale a
(-P v -Q) = El río Missisipi no corre en dirección norte O el río Nilo no corre en dirección Sur.
LEY DE MORGAN:
b) – (P v Q ) = - P ^ - Q
Ej: Solución
P
Q
-P
-Q
-P ^ -Q
P ^ Q
- (P v Q)
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
F
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IDENTIDAD
Las dos proposiciones iniciales son equivalentes
Ej:
Con el mismo ejemplo anterior aplicando
la 2ª. LEY De MORGAN
- (P v Q) = “ No es verdad que el río Missisipi corra en dirección norte O que el río Nilo corra en dirección sur. Esto Equivale (=) a
- – P ^ -Q = El río Missisipi no corre en dirección norte y el río Nilo no corre en dirección sur.
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